Demostraciones de las derivadas de los hiperbolicas.
 sinh(x) =
cosh(x)
cosh(x) = sinh(x)
tanh(x) = 1 -
tanh(x)2
csch(x) = -coth(x)csch(x)
sech(x) = -tanh(x)sech(x)
coth(x) = 1 -
coth(x)2
|
Demostración de sinh(x)
= cosh(x) : Desde la derivada de ex
Dando: sinh(x) = (
ex - e-x )/2; cosh(x)
= (ex + e-x)/2;
( f(x)+g(x) ) =
f(x) + g(x); La
regla de la cadena; (
c*f(x) ) = c f(x).
Resuelva:
sinh(x)=
( ex-
e-x )/2 = 1/2 (ex)
-1/2 (e-x)
= 1/2 ex + 1/2 e-x = ( ex +
e-x )/2 = cosh(x) Q.E.D
Demostración de cosh(x)
= sinh(x) : Desde la derivada de ex
Given: sinh(x) = (
ex - e-x )/2; cosh(x)
= (ex + e-x)/2;
( f(x)+g(x) ) =
f(x) + g(x); La
regla de la cadena; (
c*f(x) ) = c f(x).
Resuelva:
cosh(x)=
( ex
+ e-x)/2 = 1/2 (ex)
+ 1/2 (e-x)
= 1/2 ex - 1/2 e-x = ( ex -
e-x )/2 = sinh(x) Q.E.D.
Demostración de
tanh(x)= 1 - tan2(x) : desde las derivadas de sinh(x) y cosh(x)
Dando: sinh(x)
= cosh(x); cosh(x)
= sinh(x); tanh(x)
= sinh(x)/cosh(x); La Regla
de Cocientes.
Resuelva:
tanh(x)=
sinh(x)/cosh(x)
= ( cosh(x) sinh(x)
- sinh(x) cosh(x)
) / cosh2(x)
= ( cosh(x) cosh(x) - sinh(x) sinh(x) ) / cosh2(x)
= 1 - tanh2(x) Q.E.D.
Demostración de
csch(x)= -coth(x)csch(x), sech(x)
= -tanh(x)sech(x), coth(x)
= 1 - coth2(x) : Desde las derivadadas de sus funciones recíprocas
Dando: sinh(x)
= cosh(x); cosh(x)
= sinh(x); tanh(x)
= 1 - tanh2(x); csch(x)
= 1/sinh(x); sech(x) = 1/cosh(x); coth(x) = 1/tanh(x); La
Regla de Cocientes.
csch(x)=
1/sinh(x)= ( sinh(x)
1 - 1
sinh(x))/sinh2(x) = -cosh(x)/sinh2(x) = -coth(x)csch(x)
sech(x)=
1/cosh(x)= ( cosh(x)
1 - 1
cosh(x))/cosh2(x) = -sinh(x)/cosh2(x) = -tanh(x)sech(x)
coth(x)=
1/tanh(x)= ( tanh(x)
1 - 1
tanh(x))/tanh2(x) = (tanh2(x) - 1)/tanh2(x)
= 1 - coth2(x)
|
